若a,b,c均为正数若a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证:⑴ a^2+b^2+c^2≥1/3 ⑵1/a^2+1/b

证：(1)该式齐次化为：a^2+b^2+c^2>=[(a+b+c)^2]/3
上式等价于：3a^2+3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2>=2ab+2bc+2ca
2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)>=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0
上式显然成立.
(2)很简单,由卡尔松不等式：
(a+b+c)(a+b+c)(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=(1+1+1)^3=27
即1/a^2+1/b^2+1/c^2>=27
证毕,