设矩阵A按列分块为A=[a1,a2,a3],其中a1,a2 线性无关,且2a1-a2+a3=0,向量B=a1+2a2+3

非齐次线性方程组 AX = B 的向量形式即 x1a1+x2a2+x3a3 = B.
因为 a1+2a2+3a3 = B,所以 (1,2,3)' 是 AX=B 的特解.
因为 2a1-a2+a3=0,所以 (2,-1,1)' 是Ax=0的非零解.
又因为a1,a2 线性无关,2a1-a2+a3=0 说明 a1,a2,a3 线性相关
所以 r(A) = 2
所以 AX=0 的基础解系含 3 - r(A) = 1 个向量
所以 (2,-1,1)' 是Ax=0的基础解系.
所以 线性方程组AX=B的通解为x=(1,2,3)'+c(2,-1,1)'