1²+2²+3²+……+n²=怎么算

问题描述：

1²+2²+3²+……+n²=怎么算

4个回答分类：综合 2014-10-16

问题解答：

我来补答

1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
证明如下：
不妨设1²＋2²＋3²＋……＋n²＝S
利用恒等式(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1,得：
(n＋1)³－n³＝3n²＋3n＋1
n³－(n－1)³＝3(n－1)²＋3(n－1)＋1
………………………………
3³－2³＝3·2²＋3·2＋1
2³－1³＝3·1²＋3·1＋1
将这n个式子两端分别相加,得：
(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n
由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2
代入上式,得：
n³＋3n²＋3n＝3S＋3/2×n(n＋1)＋n
整理后得S＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
即1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

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补充回答：

666
网友(60.181.152.*) 2014-10-16

有数形结合的算法没有？
网友(121.76.157.*) 2018-08-04

感谢
网友(127.255.255.*) 2019-11-08

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