在扇形OAB中角AOB=60度,C为弧AB(不重合)上的一个动点.若OC向量=xOA向量+yOB向量,μ=x+py(p>

问题描述:

在扇形OAB中角AOB=60度,C为弧AB(不重合)上的一个动点.若OC向量=xOA向量+yOB向量,μ=x+py(p>0)存在最大值,求p的取值范围?
1个回答 分类:数学 2014-10-03

问题解答:

我来补答
如图,设 ∠COA=θ ,则 0°<θ<60° .设 |OA|=|OB|=|OC|=r(r>0),已知 OA*OB=1/2*r^2 ,所以 OC*OA=|OC|*|OA|*cosθ ,即 x*r^2+1/2*y*r^2=r^2*cosθ ,由此得 x+1/2*y=cosθ ,同理由 OC*OB=|OC|*|OB|*cos(60°-θ) 得 1/2*x+y=cos(60°-θ) ,由以上两式可解得 x=[4cosθ-2cos(60°-θ)]/3 ,y=[4cos(60°-θ)-2cosθ]/3 ,所以 3μ=3(x+py)=(4-2p)cosθ+(4p-2)cos(60°-θ)                   =3cosθ+√3*(2p-1)sinθ ,                   =√[9+3(2p-1)^2]*sin(θ+α) ,其中 sinα=3/√[9+3(2p-1)^2] ,cosα=(2p-1)/√[3+(2p-1)^2] .由于上式有最大值,因此 sin(θ+α) 可以取 1 ,也就是 θ+α 可以等于 90° ,由于 0°<θ<60° ,所以 30°<α<90° ,那么 1/2<sinα<1 ,即 1/2<3/√[9+3(2p-1)^2]<1 ,
解得 -1<p<2 且 p ≠ 1/2 .
 
 
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