数学和物理从来是没有分开过的,这就好比父母和孩子一样.有人说哲学是科学的母亲,而数学就是科学的父亲.然而我们看到的是在物理学的发展道路中,哲学起到的作用是指导性的,甚至有的时候是从物理问题中才能得到更多的深化.而数学起到的作用是具体的.一个理论有没有生命力的基本条件就是数学表述是否正确完善,是否和物理定律界定的条件配合得很好,或者和客观实验符合得很好.当这种符合度到达一定程度之后,物理理论就会反过来赋予数学描述以生命力.
数学对于物理的影响是很深远的,但是也不能说明数学和物理的关系有很分明的先后关系.有的数学问题是从物理现象中抽象出来的,而有的数学表述方式也是因为有了物理理论才有了意义.
用微积分来说明,微积分是数学中比较基本的一支,基本上近现代数学的每一个分支都要用到微积分的理论.而微积分的理论基础是极限,而极限的思想就是牛顿在研究物质运动的时候提出来的.在这以后的复变函数、积分变换、无穷级数等等,都成为研究物理学的有效描述工具.对于不同的体系和对象,我们所用到的数学工具是不相同的.有的是方法上的不同,有的则是知识体系的不同.例如在量子力学中,曾经就有三种描述的方式,薛定谔的波动方程,这是一种微分方程；海森堡的矩阵量子力学；狄拉克的高等量子力学,也就是相对论量子力学的描述方程.这三种表述的方式侧重点是不同的,但是都做到了同样的表述目的.而在凝聚态物理当中,我们更多的用到泛函分析.这些数学工具的理论基础有的是相同的,但有的不是.从这一点我们也可以看到,物理和数学之间的关系是一种相互影响,甚至是相互依存的关系.
除此之外还有概率论和数理统计,也是对于物理学贡献非常大的一门学科.
物理学的研究,特别是理论物理,谁高明,很大程度上就在于对于数学的运用,数学的高明.把物理的现象抽象成数学的定解混合问题,就是我们的基本要求,而这并不像有的人所说的数学好物理自然会好,因为有很多的数学方法和问题是通过物理来体现的,怎么让它体现出来,这才是物理的真正目的,而不是单纯的利用现有的数学公式.
最后举几个例子：
复变函数对于电磁学方面的贡献是显著的；数学的场论几乎只要有物质运动的地方都可以去利用研究；数理统计在热力学、量子力学方面的贡献很大；其他的还有很多方法,积分变换在电磁学中也是经常用到的,黎曼几何、张量在广义相对论中是主要的工具；泛函分析在凝聚态物理中很有用处；光学因为里面有很多的分支学科,所以它的数学工具是十分广泛的,除了欧几里得几何在几何光学中的应用外,还有像波动光学要用到波动函数,量子光学要用到量子力学中的数学工具.但我认为其最根本的是微积分、欧氏几何、向量运算、非欧几何、数理统计,而这几个数学学科中也不是独立的.
