三角形ABC中已知AB=3,AC边上的中线BD=根号5,向量AC*向量AB=5,求sin(2A-B)的值

问题描述:

三角形ABC中已知AB=3,AC边上的中线BD=根号5,向量AC*向量AB=5,求sin(2A-B)的值
1个回答 分类:数学 2014-11-19

问题解答:

我来补答
三角形ABC中已知︱AB︱=3,AC边上的中线︱BD︱=√5,向量AC•AB=5,求sin(2A-B)的值
设︱AD︱=x,则︱AC︱=2x.
在△ABD中使用余弦定理:︱BD︱²=︱AB︱²+︱AD︱²-2︱AB︱︱AD︱cosA
将已知数据代入得:5=9+x²-6xcosA,即有x²-6xcosA+4=0.(1)
AC•AB=︱AC︱︱AB︱cosA=6xcosA=5.(2)
将(2)代入(1)式立得x²-5+4=x²-1=0,故x=1,即︱AD︱=1,︱AC︱=2;
将x=1代入(2)式得cosA=5/6.(3) (A≈33.56°)
故sinA=√(1-25/36)=(√11)/6.(4)
再在△ABC中使用余弦定理得︱BC︱²=︱AB︱²+︱AC︱²-2︱AB︱︱AC︱cosA
即有︱BC︱²=9+4-12×(5/6)=3,∴︱BC︱=√3.(5)
由正弦定理得sinB=(2×sinA)/︱BC︱=[2×(√11)/6]/√3=(√33)/9;
cosB=√(1-33/81)=(√48)/9=(4√3)/9
sin2A=2sinAcosA=2×[(√11)/6]×(5/6)=5(√11)/18;cos2A=√(1-sin²2A)=√[1-(275/324)]=7/18
∴sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=[5(√11)/18][4(√3)/9]-(7/18)[(√33)/9]=13(√33)/162
 
 
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