Shakespeare was born in the 1560's/in the 1560s/in 1560s/in

我也赞同应该选择in the 1560s.
而理由试述如下﹕

首先,在年代前面要加上定冠词(definite article) “the”

至于1560's还是1560s,两者皆对,只不过前者那种加上撇号(Apostrophe)的格式不再流行.

顺便一提,若清楚说明莎翁生于1564年 - He was born in 1564,那就不用加上the.

还有,1560s 表示1560 至1569这10年时间,就是16世纪60年代的意思,而不是单指1560那一年,所以要复数加s.