Weather ------ ,we will go to the beach.

首先, 并不是固定搭配什么的...
Weather permitting 是独立主格结构,
整句话的意思是如果天气允许的话, 我们就去海滩
这道题的解题关键是 从主动还是被动入手
to do 主要是表将来的, doing主要是表主动的,正在进行的.
done主要是表被动的 ,过去的 , 主要
然后天气允许应该是主动, 没有天气被允许的说法（被动） 表主动要用doing, 而to do侧重点不在主动
如果不会判断独立结构作状语的形式,不妨将句子改为条件句,
例如本句改为If weather permits, we'll go out for a walk. 然后将if 去掉,
再将谓语动词改为非谓语动词即可.
名词/主格代词+不定式
　　名词/主格代词与不定式之间是主谓关系,且强调的是一次具体性的动作.如：
　　He is going to make a model plane, some old parts to help. 借助于一些旧零件,他要做一个飞机模型.
　　They said good-bye to each other, one to go home, the other to go to the bookstore. 他们道别后,一个回了家,一个去了书店.
名词/主格代词+现在分词
　　名词/主格代词与现在分词之间是主谓关系.如：
　　The girl staring at him(= As the girl stared at him), he didn't know what to say. 姑娘两眼望着他,他不知道说什么好.
　　Time permitting(= If time permits), we will go for an outing tomorrow. 如果时间允许的话,我们明天去郊游.

如果还是不能理解的话, 建议你去问老师, 面对面的讲解会比这种更有效