如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10cm,OC=6cm,现有两动点P、Q分别从O,

问题描述:

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=10cm,OC=6cm,现有两动点P、Q分别从O,A同时出发,点P沿OA方向向A点做匀速运动,点Q沿AB方向向点B做匀速运动,且点P的运动速度为1cm/s.
(1)设点Q的运动速度为1/2cm/s,运动时间为ts,当△CPQ的面积最小时,求点Q的坐标;当△CPQ和△PAQ相似时,求点Q的坐标;
(2)设点Q的运动速度为acm/s,问:是否存在实数a,使得△CPQ和△PAQ、△CBQ都相似?若存在,请求出a的值,并写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
..我想要详细过程呐(=@__@=),很心疼的,100分
1个回答 分类:数学 2014-11-26

问题解答:

我来补答
(1a)设P、Q运动了x秒时,使得△CPQ的面积最小.
则OP=x,Ap=10-x,AQ=x/2,QB=6-x/2
△OCP面积=OC*OP/2=6*x/2=3x
△APQ面积=AP*AQ/2=(10-x)x/4
△CBQ面积=CB*BQ=10(6-x/2)/2
矩形ABCO面积=OA*OC=6*10=60
△CPQ面积=矩形ABCO面积-△OCP面积-△APQ面积-△CBQ面积=x^2/4-3x+30=[(x-6)^2+84]/4
所以当x=6时,△CPQ面积有最小值21cm^2,
此时Q点坐标为(10,3).
(1b)设P、Q运动了t秒时,△CPQ和△PAQ相似.
有题设可知:P点坐标(t,0);C点坐标(0,6);Q点坐标(10,t/2)
当△CPQ和△PAQ相似时可能有两种情况:角CPQ为直角和角CQP为直角.
当角CPQ为直角时,
直线CP的斜率为(Yp-Yc)/(Xp-Xc)=(0-6)/(t-0)=-6/t
同理可得直线PQ的斜率为t/(20-2t)
两者的斜率乘积为-1,才能保证两直线垂直.
所以(-6/t)*t/(20-2t)=-1
解得上式t=7
此时,OP=7,AQ=7/2,AP=3
由勾股定理可以得到CP=根号85,PQ=(根号85)/2
由此可知,在这种情况下△CPQ和△PAQ并不相似.
当角CQP为直角时,
直线CQ的斜率为(t-12)/20
直线PQ的斜率由上面求得为t/(20-2t)
两者两者的斜率乘积为-1,才能保证两直线垂直.
所以(t-12)/20*[t/(20-2t)]=-1
解得t=(52+根号269)/2或者=(52-根号269)/2 t>10秒,都应该舍去.
综上分析,不存在这样的t使得△CPQ和△PAQ相似.
题目有误.
 
 
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