they lay down flat on their faces

首先这个要语境的吧,我姑且猜测先,（我刚开始以为是什么物体平缓的落到了人们的脸上,后来想了下,不是这意思）lay down 一般的意思是放下某东西的意思这里是vi不是vt显然不是这个意思,因为没有宾语,所以考虑lay down应该是躺下或者平铺下的意思.
flat在这里是副词用,平直地或者恰恰,正好的意思,这要看语境了.
on their faces,脸着地,引申开来就是脸朝下.因为前面有个they,那么后面的这个their和前面的they就是代指同一个群体.
整句话的意思应该是他们平躺着脸朝下的意思了