问题描述：
已知AB为⊙O的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，AH⊥CD于H．
（1）如图1，求证：OH平分∠AHC；
（2）如图2，连AC，BC，若AC=6，BC=4，求OH的长．
（1）如图1，求证：OH平分∠AHC；
（2）如图2，连AC，BC，若AC=6，BC=4，求OH的长．
问题解答：
我来补答
连接AC，BC，AD，OD，OC，
在Rt△ABC和Rt△ADH中，∠ACB=∠AHD=90°，∠ABC=∠ADH（同弧所对圆周角相等），
∴△ABC∽△ADH，
∴∠HAD=∠CAB，
∴∠HAC=∠DAB，
又∵∠DAB=45°（OA，OB，OD是半径，D是半圆中点，△AOD是等腰直角三角形），
∴∠HAC=45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴HA=HC，
在△AOH和△COH中，
OA＝OC
OH＝OH
AH＝CH，
∴△AOH≌△COH（SSS），
∴∠AHO=∠CHO，
∴OH平分∠AHC．
（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分线，
则OH垂直平分AC，交点标注为M，
则MA=MC=MH=
1
2AC=3，
在Rt△ABC中AB=
AC2+BC2=2
13，
则OA=
13，
在Rt△OMA中，OM=
OA2−MA2=2，
∴OH=MH-OM=3-2=1．
在Rt△ABC和Rt△ADH中，∠ACB=∠AHD=90°，∠ABC=∠ADH（同弧所对圆周角相等），
∴△ABC∽△ADH，
∴∠HAD=∠CAB，
∴∠HAC=∠DAB，
又∵∠DAB=45°（OA，OB，OD是半径，D是半圆中点，△AOD是等腰直角三角形），
∴∠HAC=45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴HA=HC，
在△AOH和△COH中，
OA＝OC
OH＝OH
AH＝CH，
∴△AOH≌△COH（SSS），
∴∠AHO=∠CHO，
∴OH平分∠AHC．
（2）OH是等腰直角△HAC的直角角分线，则OH垂直平分AC，交点标注为M，
则MA=MC=MH=
1
2AC=3，
在Rt△ABC中AB=
AC2+BC2=2
13，
则OA=
13，
在Rt△OMA中，OM=
OA2−MA2=2，
∴OH=MH-OM=3-2=1．
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