问题描述：
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明：abc（a^2+b^2+c^2)≤3
（保加利亚数学奥林匹克试题）
请认真回答，好的我会进行追加分的
（保加利亚数学奥林匹克试题）
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问题解答：
我来补答
其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对.(看图片,文字是latex代码)
由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.
把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$
所以由平均值不等式得到,
\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]
\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].
从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.
由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$.
把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$
所以由平均值不等式得到,
\[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \]
\[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\].
从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.
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