She is typing a letter.She is sweeping the floor.

a 仅仅表示数量,the则为特指.
这里两句的意思分别是：她在打一封信.她正在扫地.
一般扫地有固定搭配,也就是sweep the floor.
而另一句如果要表达说她正在打这封信,上下文有提到这封信就是她在打的,那就要用the了.