对于区间[m,n],定义n-m为区间[m,n]的长度,若函数f(x)=ax2-2x+1(a>0)在任意长度为2的闭区间上

问题描述:

对于区间[m,n],定义n-m为区间[m,n]的长度,若函数f(x)=ax2-2x+1(a>0)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1,x2,使|f(x1)-f(x2)|≥1成立,则实数a的最小值为________.
老师请解释下 为啥求对称轴
1个回答 分类:数学 2014-05-25

问题解答:

我来补答
解题思路: 上面的解法需要涉及到对图象的几何特征的解释和理解(作为填空题是可以的,但作为解答题似乎理论依据不够严谨)。我暂时还没有想到此题的纯代数解法,继续想,…
解题过程:
对于区间[m,n],定义n-m为区间[m,n]的长度,若函数f(x)=ax2-2x+1(a>0)在任意长度为2的闭区间上总存在两点x1,x2,使|f(x1)-f(x2)|≥1成立,则实数a的最小值为________.老师请解释下 为啥求对称轴 解析:因为 a>0, ∴ 抛物线先减后增,且关于对称轴对称, 我们暂时可只考察对称轴右侧的变化趋势: 抛物线在对称轴的右侧是增函数,直观地看,“越往右,递增的速度越快”     即(如图): 当时,, 可见,对于横坐标相差2的两点,在离对称轴越远的地方,纵坐标差距越大;在离对称轴越近的地方,纵坐标差距越小; 特别地,当两点恰好关于对称轴对称时,它们的纵坐标相等, 欲使 在任意区间[m,m+2]上,总存在纵坐标差距≥2的两点, 需且只需  【以对称轴为端点长为1的区间的函数值极差≥1】 即  , 解得 
最终答案:a≥1
 
 
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