初中数学几何难题矩形ABCD,E为CD上一点,F为BC上一点,△CEF的面积为3,△ABF的面积为4,△ADE的面积为5

这个问题可以这样来想.
1) 你要求的面积实际上是矩形面积减去△CEF,△ABF和△ADE面积后所剩的面积.因此,我们要先求出矩形总面积
2) 矩形总面积 S = AD x AB
3) 根据题意,有
△ADE 面积 = (AD x DE)/2 = 5
△ABF 面积 = (AB x BF)/2 = 4
△CEF 面积 = (FC x EC)/2 = 3
4) 由 3)
S = AD x AB = (10/DE) x (8/BF) = 80 / (DE x BF)
5) 现在,我们从E点出发画一条平行於BC并与AB交於G点的线段,从F点出发画一条平行於AB并与AD交於H点的线段,EG与FH交於P点.这样,整个矩形就分割成三个小矩形：ADEG, PECF及GPFB
你可以看到,ADEG的面积就是 △ADE 面积 的两倍
PECF的面积就是 △CEF 面积 的两倍
而GPBF的面积等於AHFB的面积(△ABF 面积的两倍)减去AHPG的面积
因此,我们可以把矩形面积写成
S = 5x2 + 3x2 + (4x2 - (BF x DE))
用上式结合 4) S = 80 / (DE x BF) 可以得下面方程
S^2 - 24S + 80 = 0
解得 S=4 或 S=20,显然 S=4 不是解（因为题目的三个三角形面积之和大於4),所以矩形总面积为S=20
△AEF 的面积 = S - 3 - 4 - 5 = 8