对于2^A这一符号(A是集合),一些人和资料会误以为它表示A的幂集.实际上,这一符号表示A叠在2上的叠集.这一概念易与A的幂集混淆.下面我将给您详细介绍一下这个符号.
在介绍2^A这一符号之前,首先要说明的是,这本来是集合论使用的一个符号.“离散数学”这一名称之所以被创立,应该是一些人认为数学的一些领域,比如集合论、布尔代数,是对离散系统的研究,另一些领域是对连续系统的研究.于是这些人把研究离散系统的数学领域统称为离散数学.但是,连续系统本质上也是离散系统,只是同时具备一些拓扑性质而已.所以,数学系统不该有离散和连续之分.所以,以我愚见,创造“离散数学”一词,并把它作为一些领域的统称,此举意义不大,不合理.所以我建议您将您问的这个符号理解为集合论使用的一个符号.当然,以上对于离散数学的看法,也可以见仁见智,欢迎大家各抒己见.我倒觉得,把“离散数学”作为出于教学目的而发明的词语,把离散数学理解为“学生不常接触的一些领域的初步理论的统称”更合适一些.我估计一般离散数学的教科书都不会详解2^A这一符号的由来,只有集合论的专著才会说.我猜测这是因为这一符号的由来涉及到更深奥的理论,教科书觉得把这样的内容归入离散数学不合适.这一现象印证了我之前提到的较为合适的理解方式.
为了明白2^A是什么意思,我们首先要明白这个符号里的2是什么.在现代集合论中,2被定义为{0,1}这样一个集合(其中0被定义为空集,1被定义为{0},而2={0,1}={0,{0}}).根据现代集合论对自然数的定义,2是一个自然数.而对于集合A,B,我们把{f | f:A->B},即由定义域为A,且值域是B的子集 的函数组成的集合,称为A叠在B上的叠集,记作B^A.这里简单地说一下,函数就是单值关系,关系是有序对的集合.例如,A=(2,3,5),B={0,4},则B^A是一个有8个元素的集合,这八个元素自己也是集合,分别为：
{,,}
{,,}
{,,}
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对于您说的2^A,我们已经知道2={0,1}.那么,比如说对于A={a,b,c},则2^A是一个有8个元素的集合,这八个元素分别为
{,,}
{,,}
{,,}
{,,}
{,,}
{,,}
{,,}
{,,}
类似地,假如A是一个有4个元素的集合,2^A就是一个有16个元素的集合.
有时,2^A和A的幂集会引起混淆.一些离散数学甚至集合论的教科书也可能会说2^A表示的是A的幂集.这是不对的.虽然2^A和A的幂集很像,但两者仍是不同的.A的幂集表示的是把A的所有子集作为元素构成的集合,用P(A)表示.比如,对于A={a,b,c},那P(A)就是一个有8个元素的集合,这8个元素分别是：
第1个元素：空集
第2个元素：{c}
第3个元素：{b}
第4个元素：{b,c}
第5个元素：{a}
第6个元素：{a,c}
第7个元素：{a,b}
第8个元素：{a,b,c}
类似地,假如A是一个有4个元素的集合,P(A)就是一个有16个元素的集合.
现在考考您,您看出2^A的元素和P(A)的元素之间有什么联系了吗?
希望能帮到您.
