1.已知：平行四边形ABCD,AD=7倍根号5除以5,CD=7,∠ADC为钝角,且Sin∠ADC=根号5除以5,将平行四

第一题：
折痕PG为AC的垂直平分线.假设PG与AC相交于O
1) 根据sin∠ADC=√5/5,∠ADC为钝角可知cos∠ADC=-2√5/5
2) △ADC中根据余弦定理有：AC^2=AD^2+CD^2-2*AD*CD*cos∠ADC=98,于是AC=7√2
3) △ADC中根据正弦定理有：sin∠ACD/sin∠ADC=AD/AC,于是sin∠ACD=√2/10
4) 根据sin∠ACD=√2/10,∠ACD为锐角可知tan∠ACD=1/7
5) 在直角△GOC中,OC=7√2/2,tan∠GCD=1/7,于是GO=√2/2,从而GP=2*GO=√2
第二题：
假设△ABC的面积是S,那么a=2S/6,b=2S/4,c=2S/3
根据海伦公式,S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
将a、b、c的值代入得：S=√[(9S/12)*(5S/12)*(3S/12)*(S/12)],解得S=16√15/5
第三题：
根据题意,需要证明sinα、sinβ、sinγ中任意两个之和大于第三个.因为对称性,只需要证明sinα+sinβ>sinγ
sinα+sinβ-sinγ=
sinα+sinβ-sin(π-(α+β))=
sinα+sinβ-sin(α+β)=
2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)-2sin((α+β)/2)cos((α+β)/2)=
2sin((α+β)/2)[cos((α-β)/2)-cos((α+β)/2]=
4sin((α+β)/2)sin(α/2)sin(β/2)
因为(α+β)/2、α/2、β/2均在(0,π/2),所以上式>0,从而sinα+sinβ>sinγ,即证
第四题：
题目求证的等式写的有点问题,AB*AC应该是AB*BC.假设圆的半径是R,根据正弦定理：
S△ADB=(1/2)*AD*AB*sin∠BAD ...(1)
S△BCD=(1/2)*BC*CD*sin∠BCD ...(2)
S△ADB=(1/2)*AB*BC*sin∠ABC ...(3)
S△ADC=(1/2)*AD*CD*sin∠ADC ...(4)
因为ABCD内接于圆,所以∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°,故sin∠BAD=sin∠BCD,sin∠ABC=sin∠ADC
(1)+(2)得S四边形ABCD=(1/2)*(AD*AB+BC*CD)*sin∠BAD ...(5)
(3)+(4)得S四边形ABCD=(1/2)*(AB*BC+AD*CD)*sin∠ABC ...(6)
(5)/(6)得：(AD*AB+BC*CD)/(AB*BC+AD*CD)=sin∠ABC/sin∠BAD=[AC/(2R)]/[BD/(2R)]=AC/BD,即证