V为实数域上的全体n阶方阵在通常运算下所构成的实数域上的向量空间,s为v上的线性变换,

s(A)=A'=aA,s(s(A))=s(A')=A,有s(s(A))=s(aA)=as(A)=a^2A,故A＝a^2A,由A非零知a^2=1,a＝1或－1.当a＝1时,得A'=A,故A是对称阵构成的空间.当a＝－1时,得A'=-A,这是反对称阵构成的空间,两个空间一个是n(n+1)/2维的,一个是n(n-1)/2维的,属于不同特征值的特征子空间是直和,维数相加是n^2,等于全空间的维数,故V是特征字空间的直和.
再问： 两个空间一个是n(n+1)/2维的，一个是n(n-1)/2维,请问这个是怎么来的？
再答： 对角元只有一个1，其余全是0的对称阵，共n个；aij＝1＝aji，其余是0的对称阵，共n(n-1)/2，合起来是n(n+1)/2，这是对称空间的一个基（线性无关，且任意一个对称阵都可由它们线性表出）。aij＝1＝－aji，其余是0的反对称阵，共n(n-1)/2个。