首先,你的问题是“古罗马帝国皇帝是怎么选出来的?”,也就是说,你指的是“古罗马帝国”,古罗马分两期,一个是罗马共和国,一个是罗马帝国,在罗马共和国时期是没有皇帝的,在罗马共和国时期,统治者是两位由元老院选出来的执政官,任期一年,不得连任,所以他们不是皇帝,这一点就不多说了.
至于罗马帝国,在第一位皇帝奥古斯都死后,接任的是他的儿子台比留,可是要知道的是,台比留不是奥古斯都的亲儿子,而是奥古斯都妻子上一任婚姻的产物,所以这要看你怎么理解了,是世袭还是禅让?
在此之后很久都是世袭制,也因此出现了卡利古拉和尼禄这样的怪物暴君,但是有趣的是,奥古斯都生前设立的,专门保护皇帝的禁卫军,他们有着对皇帝的生杀大权,卡利古拉和尼禄都是被禁卫军杀死的,而继卡利古拉之后的皇帝克劳迪乌斯居然是禁卫军从帷幕后头找到的人.因此,在罗马当皇帝就必须得到军队的支持,从某个方面来说,共和国时期的统治者是由元老院选出来的,而帝国时期的统治者是又军队选出来的.
然而帝国出现了短暂的````怎么说呢,也不能说是民主,只是出现了君王禅让制,在图密善这个类似秦始皇似的,一个高效率（指贡献和对国家的维护）的暴君死后,一个叫做涅尔瓦的人上任了,虽然他只当了两年皇帝便死去,但是他开创了短暂的禅让制度,只后的3个皇帝都沿用了禅让制,他们的名字是特拉扬（一位将罗马重新唤回到初生时期的活力的伟大征服者,征服了介于罗马和波斯之间的亚美尼亚,伊拉克,和波斯东部）,哈德良（巡回了帝国各地的边疆地区慰劳边关将士,重修了万神殿,在全国提倡希腊文化）,安东尼努斯（全心全意为民生,任期中没有打过大仗,但不要以为打胜仗才是伟大,能像他一样让任期中的民众得到和平就是最大的功绩）,马库斯（任期遇到了很多麻烦,蛮族不停的骚扰边疆,蠢蠢欲动,最后将其一一击破,除了是一个好君王,他还是一个好哲学家,生前写了一本哲学书《沉思录》）.
然而马库斯没有让禅让制继续,他认为好皇帝是需要从小培养的,他的儿子康茂德从5岁开始就被培养作皇帝,上任时才18岁,但马库斯错了,他的儿子更适合当个角斗士而不是皇帝,最后由于残暴的统治而被杀死（又是禁卫军）.
再此之后罗马皇帝上任的方式千奇百怪,有买的,有打仗打赢了抢到的,有从最底层一点一点提拔上来的,甚至有4个皇帝共治的情况.
以上就是罗马帝国的皇帝继承制.
