x+y+z=1,x,y,z都是正数,求xy+yz+xz-3xyz的最大值和最小值

这是道竞赛题
我在电脑前没有笔,所以无法给出正确结果,但可以给你思路
设f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)
则f(t)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz
代入x+y+z=1,有
f(t)=t^3-t^2+(xy+yz+zx)t-xyz
令t=1/3
代入
有
f(1/3)=1/27-1/9+（xy+yz+zx)-(1/3)*xyz
注意
3*f(1/3)=-2/9+xy+yz+xz-3xyz
后两项就是所求式
那么所求式为
xy+yz+xz-3xyz=3*f(1/3)+2/9
所以只需要求f(1/3)的最大值和最小就即可
也就是(1/3-x)(1/3-y)(1/3-z)的最大值和最小值
利用x+y+z=1就不难求了
需要笔算
我就现在算不了了
这叫做“母函数”的方法,用于解决一些轮换对称的式子