找出所有实数集R到R的函数f:使得对所有x,y,z,t属于R,有[f(x)+f(z)]乘[f(y)+f(t)]=f(xy-zt)+f(xt+yz).
这是哪个变态的给你们出的题啊,这是高中生做的题吗?!
注解题过程中"^"表示乘方符号,如：x^2表示x的2次方,f^2(x)表示整个函数f(x)的2次方.
假设对所有x,y,z,t∈R,
f(xy-zt)+f(xt+yz)
=[F(x)+f(z)][f(y)+f(t)]…(Ⅰ)
令x=y=z=0,则
2f(0)=2f(0)[f(0)+f(t)]
特别地,2f(0)=4f^2（0）,所以,
f(0)=0或f(0)=1/2.
若f(0)=1/2,则f(0)+f(t)=1,得到
f(x)=1/2.
若f(0)=0,在1式中令z=t=0,则
f(xy)=f(x)f(y).
特别地,f(1)=f^2（1）,所以,
f(1)=0或f(1)=1.
若f(1)=0,则f(x)=f(x)f(1)=0,x∈R.
于是,假设f(0)=0,f(1)=1.令x=0,y=t=1,
式(Ⅰ)给出
f(-z)+f(z)=2f(z),
即对z∈R,f(-z)+f(z)=2f(z),f(x)为偶函数.
由于f(x^2)=f^2(x)≥0及f(x)为偶函数,则对y∈R,有
f(y)≥0.
在式(Ⅰ)中令t=x,z=y,则f(x^2+y^2)=[f(x)+f(y)]^2,
即f(x^2+y^2)≥f^2(x)=f(x^2).
因此,对u≥v≥0,f(u)≥f(v),对x∈R+,f(x)为增函数.
在式(Ⅰ)中,令y=z=t=1,则
f(x-1)+f(x+1)=2[f(x)+1].
用数学归纳法证明f(n)=n^2,对于负整数n成立.
由于f(x)为偶函数,则f(n)=n^2对所有整数成立.
由f(xy)=f(x)f(y),可得f(a)=a^2,对所有有理数成立.
假设对某个正数x,f(x)≠x^2,
若f(x)＜x^2,取有理数a,x＞a＞√f(x),则f(a)=a^2＞f(x).
由f(x)的单调性,有f(a)≤f(x),矛盾.
对于f(x)＞x^2,用上法同理可证.
于是,f(x)=x^2,x∈R+.
由于f(x)为偶函数,所以,f(x)=x^2,x∈R.
经检验,f(x)=0,x∈R;f(x)=1/2,x∈R;f(x)=x^2,x∈R均满足条件,即为题目所求的所有解.
