已知椭圆C;x平方/a平方+y平方/b平方=1的离心率为三分之根号六,短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3,设

已知椭圆C;x平方/a平方+y平方/b平方=1的离心率为三分之根号六,短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3,设直线l与椭圆C交与A、B两点,坐标原点O到直线的距离为二分之根号3,求三角形AOB面积的最大值
右焦点（c,0）
短轴端点为（0,b）或（0,-b）
所以根据勾股定理
a=√3
c/a=√6/3
c=√2
b=1
椭圆方程：x²/3+y²=1
当直线和x轴垂直的时候,为x=√3/2
当x=√3/2的时候,y=√3/2或-√3/2
AB=√3,此时S=1/2×√3×√3/2=3/4
当直线斜率存在的时候,我们设直线为y=kx+m
原点到直线的距离d=｜m｜/√(1+k²)=√3/2
m²=3/4(1+k²)
将直线y=kx+m代入x²/3+y²=1
整理：(3k²+1)x²+6kmx+3m²-3=0
韦达定理：x1+x2=-6km/(3k²+1),x1x2=(3m²-3)/(3k²+1)
AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=√3×√[1+4k²/(9k^4+6k²+1)]=√3×√[1+4/(9k²+1/k²+6)]
k²>0,利用均值不等式当9k²=1/k²即k=±√3/3的时候,AB最大值=2,此时S=1/2×√3/2×2=√3/2
当k=0的时候,即y=±√3/2时,x=±√3/2,此时S=3/4
所以S三角形AOB的最大值=3/4