假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g″（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试

证明：
（1）
假设∃c∈（a，b），使得：g（c）=0，
则：g（a）=g（b）=g（c）=0，
对g（x）分别在[a，c]和[c，b]上使用罗尔定理，
则：∃ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），使得：
g′（ξ₁）=g′（ξ₂）=0，
由于g（x）具有二阶导数，
因此：g′（x）在[ξ₁，ξ₂]同样满足罗尔定理，
∴∃ξ₃∈（ξ₁，ξ₂），
使得：g″（ξ₃）=0，这与g″（x）≠0矛盾，
∴在开区间（a，b）内g（x）≠0．
（2）
设：F（x）=f（x）g′（x）-g（x）f′（x），
则：F（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，且F（a）=F（b）=0，
因此由罗尔定理知，∃ξ∈（a，b），
使得：F′（ξ）=0，
即：f（ξ）g″（ξ）-g（ξ）f″（ξ）=0，
即：
f(ξ)
g(ξ)＝
f″(ξ)
g″(ξ)，证毕．