如何证明达布定理与区间上可导函数的导数没有第一类间断点这个论断是等价的.

利用Darboux定理的结论“导函数具有介值性”推出没有跳跃型间断点是很容易的,直接用反证法就行了,跳跃的局部不可能满足介值性.
但是反过来等价性是不行的,没有跳跃型间断点不能保证介值性质,所以必须把导函数的条件加上去,这样一来就不能完全算做用“导函数没有跳跃型间断点”来推出Darboux定理了.
如果你不会证明Darboux定理,那么我可以告诉你证法,对于f'(a)和f'(b)之间的任何实数t,构造连续函数g(x)=f(x)-tx,然后对区间(a,b)上的最值点用Fermat引理就行了.
再问： "但是反过来等价性是不行的，没有跳跃型间断点不能保证介值性质，所以必须把导函数的条件加上去，这样一来就不能完全算做用“导函数没有跳跃型间断点”来推出Darboux定理了。" 那我就加上这个条件，怎么用用后者推出前者？你讲的那种证法我会的
再答： 加上导函数这个条件之后不论是否用到没有跳跃型间断点这一性质，都不能再算做两个命题等价的依据了，你觉得还有什么意思。
再问： 那我这么问，如果一个函数不存在振荡间断点以外的间断点，能否保证其介值性 如果能，求证明，如果不能，求反例
再答： 最简单的例子，Dirichlet函数，所有的点都不连续，而且都不是跳跃间断点。
再问： 好的，谢谢