证明arctan1/2+arctan1/3=45°

问题描述：

证明arctan1/2+arctan1/3=45°
不要用高中乱七八糟的公式和π
还有类似的式子吗
都说过我是初三的了没学余弦定理 tan(α+β)也不会展开

1个回答分类：数学 2014-10-26

问题解答：

我来补答

构造一个三角形ABC,过A作BC边上的高AD,长为1.
取BD=2,CD=3,则 BC=5,tanB=1/2,tanC=1/3,所以角B=arctan1/2,C=arctan1/3, 要证arctan1/2+arctan1/3=45°,也就是要证三角形ABC中角BAC=135度.
由勾股定理,AB^2=AD^2+BD^2=5,AB=根号5；AC^2=AD^2+CD^2=10,AC=根号10.
由余弦定理,cosBAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2*AB*AC)=-根号2/2
所以角BAC=135度,从而角B+角C=45度,即arctan1/2+arctan1/3=45°
我初三的时候是学过余弦定理的.你就说你会什么就行了.

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