观察下列式子：3平方+4平方=5平方,8平+6平方=10平方,15平+8平方=17平方找规律写出数学表达式并证明

这个是直角三角形的三边关系,也就是勾股定理
1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是
a^2+b^2=c^2.
这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.
2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形,如图.
容易看出,
△ABA’ ≌△AA'C .
过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积.同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积.
于是,S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,
即 a2+b2=c2.