用递等式计算:1/2+5/6+11/12+19/20+29/30+,9701/9702+9899/9900的和

问题描述:

用递等式计算:1/2+5/6+11/12+19/20+29/30+,9701/9702+9899/9900的和
1个回答 分类:数学 2014-11-23

问题解答:

我来补答
以上式子可看作
=1/(1×2)+5/(2×3)+11/(3×4)+19/(4×5)+29/(5×6)+……+9899/(99×100)
……
……
=1/(1×2)+(4+1)/(2×3)+(9+2)/(3×4)+(16+3)/(4×5)+(25+4)/(5×6)+……+(9801+98)/(99×100)
……
……
=(1^2+0)/(1×2)+(2^2+1)/(2×3)+(3^2+2)/(3×4)+(4^2+3)/(4×5)+(5^2+4)/(5×6)+……+(99^2+98)/(99×100)
……
……
每一项都是[n^2+(n-1)]/[n×(n+1)]
故设An=[n^2+(n-1)]/[n×(n+1)],An的前n项和为Sn,
以上式子是求An的前99项和,即求S99
又An=[n^2+(n-1)]/[n×(n+1)]=[n(n+1)-1]/[n×(n+1)]=-1/[n×(n+1)]+1
设Bn=-1/[n×(n+1)]其前n项和为Pn,Cn=1其前n项和为Qn,则:An=Bn+Cn,Sn=Pn+Qn
又Qn=n;Pn=-n/(n+1)
故Sn=Pn+Qn=-n/(n+1)+n=(n^2)/(n+1)
故S99=(99^2)/(99+1)=9801/100
{其中Pn的求法是:Bn=-1/[n×(n+1)]=-[(1/n)-1/(n+1)]
故Pn=-{1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+……+1/[n(n+1)]}=[1-1/2+1/2-1/3+1/3+……+1/n-1/(n+1)]=-[1-1/(n+1)](其中从-1/2+1/2-1/3+1/3+……+1/n都可以相互约掉)=(n^2)/(n+1)}
注:仅供参考!
再问: 下面的都看不明白啦。
再答: 就是将-1/[n×(n+1)]转换成-[(1/n)-1/(n+1)]其中n∈N* 你只要带入1,2,……,n其中可以约去很多项!先将我写的copy到纸上,就很容易看勒!
 
 
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