1、组织非公企业党组织开展“党员亮身份、工作争一流”活动.

都行,只是侧重点不同罢了.
再问： 怎么侧重点不同，能详解吗？
再答： 组织非公企业党组织开展“党员亮身份、工作争一流”活动 -----这种说法是说组织“非公企业党组织”来开展“党员亮身份、工作争一流”的活动；而组织开展非公企业党组织“党员亮身份、工作争一流”活动----这个说法就是说组织并开展“"党员亮身份、工作争一流"活动”。