为什么说收敛数列一定有界?

如果你取一个数列an = 1/n,它显然收敛,而且最大值在n = 1的地方.
可以补充这么一个看起来很怪异,但是细细一想又很显然的引理：
对于给定的数列,假若任给一个实数p,总存在一个正整数N,使得|aN| > p,那么进一步地,对于任意给定的N0,一定可以找到这样一个N*,使得它既满足|aN| > p,又满足N* > N0.
换句话说,要是数列某个地方趋于无穷大了,这个地方必然在无穷远处.
对于任意数列,任意给一段有限长区间,则这段区间上必有界.
原因很显然.数列不像函数,数列能取到的值是有限的.所以只要给出一个有限长的区间,我总能一个一个顺着找到最大值最小值.因而数列要出现无穷大的趋近,只能在无穷远出,因为此时这段区间上有无穷多个点,从而不能一个一个去找最值了.
函数则不一样.所以收敛函数有界的说明中是说,如果函数在无穷远处收敛,那么必然存在一个足够接近与无穷远的区间,使得该区间上函数有界；如果函数在某点收敛,那么必然存在一个该点的临域,使得函数在该区间上有界.