如图,边长为1的正方形ABCD中,P为正方形内一动点,过点P且垂直于正方形两边的线段为

第一个问题：
∵ABCD是正方形,又EF⊥AD、GH⊥AB,
∴容易证得：ABFE、ADHG都是矩形,∴BF＝AE、DH＝AG,又AG＝AE,∴BF＝DH.
∵ABCD是正方形,∴AB＝AD、∠ABF＝∠ADH＝90°.
由AB＝AD、∠ABF＝∠ADH、BF＝DH,得：△ABF≌△ADH,∴AF＝AH.
第二个问题：
延长FB至M,使BM＝DH.
∵AB＝AD、BM＝DH、∠ABM＝∠ADH,∴△ABM≌△ADH,∴∠BAM＝∠DAH、AM＝AH.
∵ABCD是正方形、∠FAH＝45°,∴∠BAF＋∠DAH＝45°,又∠BAM＝∠DAH,
∴∠BAF＋∠BAM＝45°,∴∠MAF＝45°,∴∠MAF＝∠HAF＝45°.
∵AM＝AH、∠MAF＝∠HAF、AF＝AF,∴△MAF≌△HAF,∴MF＝FH,∴BM＋BF＝FH.
容易证得：CHPF是矩形,又ABFE、ADHG都是矩形,∴BM＝DH＝AG、BF＝AE,
∴AG＋AE＝FH.
第三个问题：
设BG＝x、BF＝y,则容易求出：PE＝1－x、PH＝1－y.
∵BG＋BF＋GF＝1,∴x＋y＝1－GF.
由勾股定理,有：GF＝√（BG^2＋BF^2）＝√（x^2＋y^2）,∴x＋y＝1－√（x^2＋y^2）,
∴（x＋y）^2＝［1－√（x^2＋y^2）］^2,
∴x^2＋y^2＋2xy＝1－2√（x^2＋y^2）＋x^2＋y^2,∴2xy＝1－2√（x^2＋y^2）,
∴xy＝1/2－√（x^2＋y^2）.
容易证得：EPHD是矩形.
∴S(矩形EPHD)
＝PE×PF＝（1－x）（1－y）＝1－x－y＋xy
＝1－［1－√（x^2＋y^2）］＋［1/2－√（x^2＋y^2）］＝1/2.