若平面内三个向量 OA OB OC 其中=120°

问题描述：

若平面内三个向量 OA OB OC 其中=120°
平面内有三个向量OA,OB ,OC 其中向量OA与向量OB的夹角为120度,向量OA与向量OC的夹角为30度,且|OA|=|OB|=1,若向量OC=2√3 若向量OC=a向量OA+b向量OB 则a+b的值为
因为向量OA与向量OB的夹角为120度,所以向量OA*向量OB=1*1*cos（120度）
=-1/2
又OC长为2√3,所以OC^2=12,
向量OC=a向量OA+b向量OB
所以（向量OC)^2=（a向量OA+b向量OB)^2=(a向量OA)^2+(b向量OB)^2+2ab*（向量OA*向量OB）=a^2+b^2+2ab*(-1/2)=a^2+b^2-ab=12
4a^2+4b^2-4ab=48 1式
因为向量OA与向量OC的夹角为30度,所以向量OC*向量OA=2√3*1*cos(30度）=3
所以向量OC*向量OA=a-(1/2)b=3
将[向量OC*向量OA=a-(1/2)b=3]平方
所以a^2+(1/4)b^2-ab=9
4a^2+b^2-4ab=36 2式
1式-2式得,
3b^2=12
so b=2orb=-2
a-(1/2)b=3 so b=2,a=4orb=-2,a=2代入1式检验.符合
但是当a=2,b=-2是ABC三点共线,所以不符
故a=4,b=2
so a+b=6
我们老师给的答案是 6或0
上边答案里但是当a=2,b=-2是ABC三点共线,
我感觉可以呀
请问为什么共线?我算的不共线呀.

1个回答分类：数学 2014-10-16

问题解答：

我来补答

依题意设向量OA=(1,0),
则,向量OB=(cos120°,sin120°)=(-1/2,√3/2)
向量OC=2√3(cos30°,sin30°)=2√3(√3/2,1/2)
又, 向量OC=a向量OA+b向量OB=(a-b/2,√3/2b)
∴|向量OC|^2=a^2-ab+b^2=(2√3)^2==> a^2-ab+b^2=12 (1)
向量OA•向量OC=a-b/2=1•2√3cos30°=3 (2)
(1),(2)联立解得a1=4,b1=2；a2=2,b2=-2
∴a+b=6或a+b=0
你给的答案中,当a=2,b=-2是ABC三点共线,不一定成立,a,b仅为实常数,应该与A,B,C共线与否无关.

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