若f(x)在〔0,1〕上有二阶导数,且f(1)=0,设F(x)=x^2f(x),证明：在(0,1

证明：
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导
又f(0)=f(1)=0
∴F(0)=0*f(0)=0,F(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ1,使F'(ξ1)=0
又F'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴F'(0)=F'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使F''(m)=0
证毕