如图所示,重力为G的物体挂在水平横杆的右端C点．水平横杆左端有一可转动的固定轴A,轻杆AC长为L.轻绳的B端可固定在AC

问题描述：

如图所示,重力为G的物体挂在水平横杆的右端C点．水平横杆左端有一可转动的固定轴A,轻杆AC长为L.轻绳的B端可固定在AC 杆上的任一点,绳的D端可固定在竖直墙面上的任一点,绳BD长为L,轻杆AC始终保持水平.则当AB间的距离为多少时．绳BD的拉力最小值为多少.

答题要求：清晰.我下个月才上初三,现在是预习.如果涉及到一些初中以外的基础知识,定理,麻烦打字上来.如果有数学计算,请不要写三角函数的sin cos什么的（没学）,就把那边的比写出来.
AB间的距离是根号2/2L，BD的拉力最小值是2G
只求详细的证明，而且证明越简单越好，越巧妙越好。

1个回答分类：综合 2014-11-04

问题解答：

我来补答

平衡时杆受关于A点的总力矩为0.总力矩是重物产生的力矩与绳BD拉力的力矩之和,因为前者保持不变,所以后者也保持不变.
绳BD拉力的力矩等于BD上的拉力乘以A点到BD的距离.力矩不变,要使BD拉力最小,就要使A点到BD距离最大.由于BD长度恒定为L,所以就是要三角形面积ABD最大,即AB*BD最大.
AB*BD = AB*(L^2 - AB^2)^0.5 = (L^2 * AB^2 -AB^4)^0.5 = ( -(AB^2 - L^2 / 2)^2 + L^4 / 4)^0.5
当且仅当AB^2 = L^2 / 2时A到BD距离最大
所以AB= L/sqrt(2)
此时A到BD距离=L/2,最大
根据总力矩为0,得到T * L/2 = G * L
所以BD拉力T=2G
再问：你有没有别的作法。这个好像麻烦了一点啊
再答：这就是个求极大值的问题，就是求A到BD的什么时候距离最大。如果不用式子表示的话，那可以这样看：以BD为直径做圆，A点可以在圆上随意移动，问A点何时距BD最远?很显然，只有在AB=AD处A点距BD最远，距离为圆的半径，即L/2。此时AB=AD=L/sqrt(2)

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