为了求解线性方程组,我们通常需要一定的解法.其中一种解法就是通过矩阵的三角分解来实现的,属于求解线性方程组的直接法.在不考虑舍入误差下,直接法可以用有限的运算得到精确解,因此主要适用于求解中小型稠密的线性方程组.
(1) 三角分解法
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵 或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵,这样的分解法又称为LU分解法.它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程,求 反矩阵,和求解联立方程组.不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一,还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵,此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵.
MATLAB以lu函数来执行lu分解法,其语法为[L,U]=lu(A).
L是下三角矩阵：lower.U是上三角矩阵：Upper
(2) QR分解法
QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关.
MATLAB以qr函数来执行QR分解法,其语法为[Q,R]=qr(A).
Q是正交矩阵,R是n*n的上三角矩阵.
