对称正定矩阵cholesky分解唯一性 证明 急用

设对称正定阵A=LL^T=GG^T是A的两个Cholesky分解,L和G都是下三角阵.
在LL^T=GG^T中左乘G^(-1),右乘L^(-T),得
G^(-1)L=G^TL^(-T)=(L^(-1)G)^T.（*）
注意到下三角阵的逆还是下三角阵,两个下三角阵的乘积还是下三角阵,因此
上式左边是下三角阵,右边是下三角阵的转置是上三角阵,
两边要想相等,只能是对角阵,因此有
G^(-1)L=D是对角元大于0的对角阵.取逆得L^(-1)G=D^(-1),代入(*)式得
D=D^(-1).设D=diag(d1,d2,.,dn),则此式表明di=1/di,由于di>0,
因此有di=1,即D=E是单位阵,于是G^(-1)L=E,L=G.故唯一.