已知a为实数 ,函数f(x)=x^2-2alnx ,若a＞0,试证明"方程f(x)=2ax有唯一解"的充要条件是"a=1

理论上讲是要求切线,也就是y=f(x)存在一点(t,2at)使得这点的切线的斜率就是2a,或者说g(x)=f(x)-2ax的最小值是0（g(0)>0,g(+oo)=+oo）.当然,既然涉及超越方程就不要硬来,用单调性解决.
首先看充分性,如果a=1/2,那么g(1)=g'(1)=0,所以确实是唯一解.
反过来,如果g(x)有唯一零点,用反证法,若a>1/2则g(1)=0,即g没有零点,矛盾,所以a=1/2.