楼上两位的解答,都是对的,下面分析分析楼主求解时出现的问题.
1、这个方程是一个隐函数方程(Implicit Equation)的求导问题.
隐函数通常有两种情况：
一是根本无法解出y,如 x + y = sin y
二是没有必要解出y,如本题.因为解出后,y有正负号问题,更复杂.
2、对于隐函数的求导,用复合函数(Composite Function)的链式求导(Chain Rule)：
df/dx = (df/du)(du/dv)(dv/dw)(dw/dx)
3、对于本题,只要记住,这里的y是隐性定义为x的函数,既然y是x的函数,
整个方程 3xy = x² + y² + 1 的两侧就也都是x的函数,两侧同时对x求导,
得：dy/dx = =(3y-2x)/(2y-3x)|(x=1,y=2) = 4
4、楼主试图将 x² + y² - 3xy + 1 = 0 当成一个二元函数 u(x,y) = c,
对y微分,也对于x微分,然后将它们相除,得到dy/dx.
相除的想法本身,没有错,这就是导数的思想,因此导数也叫微商.
5、现在的问题是 dy 与 (∂u/∂y)dy 是否相等?dx 与 (∂u/∂x)dx 是否相等?
这里是概念乱了,其实 ∂x 就是 dx,∂y 就是 dy,只是因为现在u(x,y)是
二元函数,u对x的导数是偏导数∂u/∂x,而不是全导数du/dx；同样,u对y
的导数是偏导数∂u/∂y,而不是全导数du/dy.全导数概念一般不讲,很多
人以为没有全导数的概念,其实在任何方向上求导,称为方向导数；而在空
间变化率最大的方向求导,我们称为梯度.梯度的意思就是全导的意思,因
为一般人不习惯,所以我们平时只讲全微分与偏导数的概念.
全导数的英文是：Total differentiation.
就本题而言,(∂u/∂y)dy 在意义上是 du 而不是 dy,(∂u/∂x)dx 在意义上
也是 du 而不是 dx.所以 dy/dx ≠ [(∂u/∂y)dy]/[(∂u/∂x)dx]
结论：楼主可能是什么书上的引用错误造成.错误不再于引用的u有必要还是无
必要,也不在于相除可以不可以,而在于[(∂u/∂y)dy]/[(∂u/∂x)dx]的意
义理解错了.
