数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．

（I）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴
Sn+1
Sn=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列{S_n}是首项为1、公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，a_n-2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=

1，n＝1
2•3n−2，n≥2
（II）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，Tn=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，①3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，②
①-②得：-2Tn=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1=2+2•
3(1−3n−2)
1−3−2n•3n−1=-1+（1-2n）•3n-1
∴Tn=
1
2+（n-
1
2）3^n-1（n≥2）．
又∵Tn=a₁=1也满足上式，∴Tn=
1
2+（n-
1
2）3^n-1（n∈N*）