2010年初三“华罗庚杯”一道数学竞赛题

答案是61.
首先可以取11,33+11,33X2+11,33X60+11这61个数,满足每3个的和均能被33整除.（1）
其次来证明任意取62个数就不可能存在每3个的和均能被33整除.(2)
证明如下：
首先将1～2010,按照被33整除的余数分成33个小组,即
第1小组：1,33+1,33×2+1,...,33×60+1 该组有61个数
第2小组：2,33+2,33×2+2,...,33×60+2 该组有61个数
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第33小组：33,33X2,33×3,...,33×60 该组有60个数
每个小组最多有61个数,组少有60个数.
假如有62个数满足每3个的和均能被33整除；
那么由于每3个的和均能被33整除,所以当任取2个,剩下的一个在其余60个里面取时,由于这60个数任意取一个,和已取的那2个的和都能被33整除,也就是数他们除以33的余数都要相同,所以这60个数就应该在同一个小组里；同样在这60个数里取两个数,除这2个数外的62个数中其他的60个数也在同一个小组里,所以所有62个数必须都在一个小组里.这与前面的“每个小组最多有61个数,组少有60个数”矛盾.所以任意取62个数就不可能存在每3个的和均能被33整除.
综合（1）,（2）得到最多可以有61个数,使得从中任意挑选3个数他们的和可以被33整除.