将16的倒数表示成2个自然数的倒数之和,有几种表示法?

令1/16=1/x+1/y=(x+y)/xy,所以x=16y/(y-16),显然,当16是y-16的整倍数时x才为整数,所以y只能取17,18,20,24,32,此时x有对应解.
那么,可不可能y是y-16的倍数呢?可能,但我们可以证明,这时y一定只由质因数2构成,因为若有其他质因数k,y-16就不可能被16y整除.
只剩最后一种情况,y-16被16y整除,但不能被16或y单独整除,这种情况的实质是把x和y的位置换了一下,不会增加新解.
所以只有5种