如果矩阵A有n个不同特征值,也就是特征多项式对一个特征值只有1次,那么A的伴随矩阵和A的特征向量之间

首先这里的A*是转置共轭的意思,而不是通常所说的伴随矩阵(adjugate),否则结论不成立.
"the eigenvectors of A and the eigenvectors of A* form a biorthogonal set"的意思是说
如果{x1,x2,...,xn}是A的(线性无关的)特征向量,{y1,y2,...,yn}是A*的特征向量,那么当i≠j时xi和yj正交.
(当然,这里有一个次序的问题,yi的次序得根据xi的次序来决定,不能随意编号)
证明没什么好说的,可以说是显然的.
再问： 是不是如果the eigenvalues of A all have algebraic multiplicity one， 则A=A*呢？ algebraic multiplicity是什么？
再答： "是不是如果the eigenvalues of A all have algebraic multiplicity one， 则A=A*呢？" 当然不是. "algebraic multiplicity是什么？" 如果你连代数重数是什么都不知道, 这种问题也就不要问了, 先去把教材拿出来好好看一遍再说.