a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n ("n√"是n次根号下）

∵lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]
=lim(n->∞)[(ln(a^(1/n)+b^(1/n))-ln2)/(1/n)]
=lim(x->0)[(ln(a^x+b^x)-ln2)/x] (设x=1/n)
=lim(x->0)[(a^x*lna+b^x*lnb)/(a^x+b^x)] (0/0型,应用罗比达法则)
=(lna+lnb)/2
=ln(ab)/2
∴原式=lim(n->∞){e^[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^{lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^(ln(ab)/2)
=√(ab).