问题描述：
一道关于圆锥曲线的高中数学题
已知椭圆中心为坐标原点O,交点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A,B两点,向量OA+向量OB与向量n=（1,3）垂直
1.求椭圆的离心率e
2.设M为椭圆上任意一点,且向量OM=（m+n)向量OA+(m-n)向量OB（m,n都属于R）,求动点N（m,n)的轨迹
问题解答：
我来补答
1：
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,焦距为2c
a^2=b^2+c^2
则直线方程为y=x-c
代入椭圆方程得
（a^2+b^2)x^2-2a^2*cx+a^2c^2-a^2b^2=0
设A坐标（x1,y1）,B坐标（x2,y2）
则OM=（x1+x2,y1+y2）
OM垂直于n
则x1+x2+3（y1+y2）=0
y1=x1-c,y2=x2-c
代入得
4（x1+x2)-6c=0
因为x1,x2是方程（a^2+b^2)x^2-2a^2*cx+a^2c^2-a^2b^2=0的两根
所以由韦达定理
4（2a^2*c)/(a^2+b^2)-6c=0
整理得 a^2=3b^2
又b^2=a^2-c^2
所以 e=根号（c^2/a^2)=三分之根号六
2：
令j=m+n,k=m-n
OM=j OA+ k OB
得点M坐标为
(j*x1+k*x2,j*y1+k*y2)
因为M在椭圆上
所以：
(j*x1+k*x2)^2/a^2+(j*y1+k*y2)/b^2=1
j^2*(x1^2/a^2+y1^2/b^2)+k^2*(x2^2/a^2+y2^2/b^2)+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=1
因为点A,B也在椭圆上
所以x1^2/a^2+y1^2/b^2=x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
代入得
j^2+k^2+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=1
y1=x1-c y2=x2-c
代入 2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2) 得
2jk((a^2+b^2)(x1+x2)-a^2*x1x2+a^2c)
韦达定理并化简：
得2jk(2c^2-a^2-b^2)
因为 a^2=(3c^2)/2 b^2=(c^2)/2
代入 2c^2-a^2-b^2 得 2c^2-a^2-b^2=0
所以
j^2+k^2+2jk(b^2*x1x2+a^2*y1y2)/(a^2*b^)=j^2+k^2=1
因为 j=m+n,k=m-n
代入得 (m+n)^2+(m-n)^2=1
化简得
m^2+n^2=1/2
