首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊.
1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是
a^2+b^2=c^2.
这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.
2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形,如图.
容易看出,
△ABA’ ≌△AA'C .
过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积.同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积.
于是,S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,
即 a2+b2=c2.
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到（请读者自己证明）.这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式.
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法.
以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积.
这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解.
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明.采用的是割补法：
如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上黄色,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”.
赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观.
西方也有很多学者研究了勾股定理,给出了很多证明方法,其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的.据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺.故西方亦称勾股定理为“百牛定理”.遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法.
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明.
如图,
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2),①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2).②
比较以上二式,便得
a2+b2=c2.
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明.5年后,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法,这在数学史上被传为佳话.
在学习了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似.
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°.作CD⊥BC,垂足为D.则
△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC.
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD BA,①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD AB.②
我们发现,把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD）,
而AD+BD=AB,
因此有 BC2+AC2=AB2,这就是
a2+b2=c2.
这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁.它利用了相似三角形的知识.
在对勾股定理为数众多的证明中,人们也会犯一些错误.如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中,∠C=90°,由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC,
因为∠C=90°,所以cosC=0.所以
a2+b2=c2.
这一证法,看来正确,而且简单,实际上却犯了循环证论的错误.原因是余弦定理的证明来自勾股定理.
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广.
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”.
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”.
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.
若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.
如此等等.
