(积分)设函数f在区间[0,1]上可微,且满足1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx

即af'(a)+f(a)=0
注意到左边＝[xf(x)]'|x=a ,转化为证此函数的导函数有零点,当然用罗尔中值定理,只需证明函数有两点值相同即可
现在有1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx
构造g(x)=∫（x,0）tf(t)dt
g(1/2)=1/2f(1)
g'(x)=xf(x),则有点b使得g'(b)=[g(1/2)-g(0)]/1/2=f(1)=bf(b) （拉格朗日中值定理）
即有一点b,其bf(b)等于1f（1）
那么在(b,1)中有点a使[xf(x)]'|（x=a）＝0