∫(0→a) dx ∫(0→x) √(x^2+y^2) dy 详细解答过程,先化为极坐标再计算积分值0.0

用极坐标,J=r,
原式=∫dθ∫r^dr
=(1/3)∫(a/cosθ)^3dθ
=(a^3/3)∫dt/(1-t^)^,
其中t=sinθ,
设1/(1-t^)^=（mt+n)/(1+t)^+(pt+q)/(1-t)^,则
1=（mt+n)(1-t)^+(pt+q)(1+t)^
=(mt+n)(1-2t+t^)+(pt+q)(1+2t+t^)
=mt^3-2mt^+mt
+nt^-2nt+n
+pt^3+2pt^+pt
+qt^+2qt+q
=(m+p)t^3+(-2m+n+2p+q)t^+(m-2n+p+2q)t+n+q,
比较得
m+p=0,
-2m+n+2p+q=0,
m-2n+p+2q=0,
n+q=1,
解得n=q=1/2,m=1/4,p=-1/4,
∴1/（1-t^)^=(t/4+1/2)/(1+t)^+(-t/4+1/2)/(1-t)^
=(1/4)[1/(1+t)+1/(1-t)+1/(1+t)^+1/(1-t)^],
∴原式=(a^3/12)[ln(1+t)-ln(1-t)-1/(1+t)+1/(1-t)]|
=(a^3/12)[ln(1+1/√2）-ln(1-1/√2）-1/（1+1/√2)+1/(1-1/√2）]
=(a^3/6)[ln(√2+1)+√2].
再问： ����...���Ľⷨ�˰�...?����0,0
再答： �Һܾ�û��������Ŀ�����Ͻⷨ���������뵽�Ľⷨ��
再问： http://zhidao.baidu.com/question/540216502?quesup2&oldq=1 ����������ԇ�...?
再答： �����ˡ�