求定积分∫x^2*(arctanx)^2/(1+x^2)dx (-1

问题描述:

求定积分∫x^2*(arctanx)^2/(1+x^2)dx (-1
1个回答 分类:数学 2014-12-06

问题解答:

我来补答
被积函数是偶函数,原函数(当C=0时)是奇函数
∫(-1→1)x²arctan²x/(1+x²)dx
=∫(-1→1)(1+x²-1)arctan²x/(1+x²)dx
=∫(-1→1)arctan²xdx-∫(-1→1)arctan²x/(1+x²)dx
=2∫(0→1)arctan²xdx-2∫(0→1)arctan²x/(1+x²)dx

∫arctan²xdx积不出(原函数不能用初等函数来表示),相应的定积分只能用数值积分来做
∫(0→1)arctan²xdx≈0.245281

∫(0→1)arctan²x/(1+x²)dx
=∫(0→1)arctan²xd(arctanx)
=[(1/3)arctan³x](0→1)
=(1/3)*(π/4)³

原式≈2*0.245281+2*(1/3)*(π/4)³≈0.813544
 
 
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