原式=2∫[0,π] lncos(x/2)dx 令t=x/2,则原式=4∫[0,π/2] lncostdt
令u=π/2-t,得:原式=4∫[0,π/2] lnsinudu
而∫[0,π/2] lnsinudu=-πln2/2,所以原式=-2πln2
∫[0,π/2] lnsinudu=-πln2/2证明如下:
令u=2r,则原式=2∫[0,π/4] lnsin2rdr=2∫[0,π/4] ln2sinrcosrdr
=2∫[0,π/4] ln2dr+2∫[0,π/4] lnsinrdr+2∫[0,π/4] lncosrdr
令s=π/2-r,则原式=πln2/2+2∫[0,π/4] lnsinrdr+2∫[π/4,π/2] lnsinrdr
=πln2/2+2∫[0,π/2] lnsinudu
所以∫[0,π/2] lnsinudu=-πln2/2
至于补充题:f(x)=∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1,那么f(x)不就=-x^2/2+e^-x -1吗?
再问： 下面这个补充题目 是，f(x)为连续函数，∫(上x下0) f(t-x)dt=-x^2/2+e^-x -1,那么f(x)=
再答： 令u=t-x,则t=0时,u=-x,t=x时,u=0,所以原式左边=∫[-x,0]f(u)d(u+x) =∫[-x,0]f(u)du=-∫[0,-x]f(u)du=-x^2/2+e^(-x)-1 两边求导得: f(-x)=-x-e^(-x) 所以f(x)=x-e^x
再问： f(-x)前面是不是少了一个负号？-∫[0,-x]f(u)du=-x^2/2+e^(-x)-1 -f(-x)=-x-e^(-x) 所以f(x)=-x+e^x
再答： 没有,因为上限是-x,所以是f(-x)*(-x)'=-f(-x),加下定积分前面的-,所以就没-号了
