（2012•宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,在等腰直角△ABC中,AB=A

问题描述：

（2012•宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,在等腰直角△ABC中,AB=A
（2012•宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动,
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）小敏在线段BC上取一点七,连接AM,旋转中发现：若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如八等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF（如图它）
小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG,连接EG（如图3）
（3）小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明；若不成立,说明理由．

1个回答分类：数学 2014-10-28

问题解答：

我来补答

1）证明：如图1,∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°
∵∠DAE=45°
∴∠BAD+∠EAC=45°
∵∠BAD=∠DAM
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC
∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC
（2）选择小颖的方法
证明：如图2,连接EF
由折叠可知,∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF
ABDECF（图2）
∵∠BAD=∠FAD
∴由（1）可知,∠CAE=∠FAE
在△AEF和△AEC中
AF=AC∠FAE=∠CAEAE=AE
∴△AEF≌△AEC（SAS）
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°
在Rt△DFE中,DF^2+FE^2=DE^2
∴BD^2+CE^2=DE^2
（3）当135º＜＜180º时,等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立.证明如下：
如图,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF
∴AF＝AB,∠AFD＝∠ABC＝45º,∠BAD＝∠FAD
又∵AC=AB,∴AF＝AC
又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD
＝∠FAE
在△AEF和△AEC中,∵AF＝ AC,∠FAE＝∠CAE,AE＝AE
∴△AEF≌△AEC（SAS）.∴CE＝FE,∠AFE＝∠C＝45º
又∵在△AGF和△BGE中,∠ABC＝∠AFE＝45º,∠AGF＝∠BGE
∴∠FAG＝∠BEG
又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝ ∠ABC＝90º
∴∠DFE＝90º
在Rt△OCE中,DE^2＋FE^2＝DE^2,∴BD^2＋CE^2＝DE^2
望采纳!谢谢!（非本人做）
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