解题思路： （1）设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-1）（x-7），把C的坐标代入求出即可； （2）把抛物线的解析式化成顶点式，求得对称轴，根据抛物线的性质即可求得x的取值； （3）求出E的坐标，把C（0，7），E（5，-8）代入y=kx+b得到方程组，求出方程组的解即可得到一次函数的解析式，求出直线与X轴的交点，根据三角形的面积公式求出即可； （4）求出抛物线的顶点坐标，根据线段的垂直平分线性质和等腰三角形的性质求出即可
解题过程：
解：（1）∵A（1，0），B（7，0），
设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-1）（x-7），
把C（0，7）代入得：7=a（0-1）（0-7），
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-7）=x2-8x+7，
即抛物线的函数关系式是y=x2-8x+7=(x-4)²-9．
（2）把x=5代入y=x2-8x+7得：y=-8，
∴E（5，-8），
把C（0，7），E（5，-8）代入y=kx+b得： b＝7 5k+b＝−8 ，
解得：k=-3，b=7，
∴CE表达式为：y=-3x+7，
（3）设直线y=-x+5交x轴于D，
当y=0时，0=-3x+7，
∴x= 7 3 ，
∴OD= 7 3 ，
BD=7- 7 3 = 14 3 ，
∴S△CBE=S△CBD+S△EBD= 1 2 × 14 3 ×7+ 1 2 × 14 3 ×|-8|=35，
（4）存在点P使得△ABP为等腰三角形，这样的点P共有7个；
∵抛物线的顶点P（4，-9）既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点P（4，-9）为所求满足条件的点．
除P点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
∴分别以A、B为圆心半径长为9画圆，分别与抛物线交于点B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6，除去B、A两个点外，其余6个点为满足条件的点
